凸函数判定定理的运用论文

问：凸函数怎样用正定性判断

1. 答：首先凸函数有许多判定方法，比如：定义，一阶条件，二阶条件等等。你这里说利用正定性判定，应该是指使用二阶条件判定。
   在用二阶条件进行判定时，需要得到Hessian矩阵，然后根据Hessian的正定性判定函数的凹凸性，比如Hessian矩阵半正定，函数为凸函数；Hessian矩阵正定，严格凸函数

问：凹函数与凸函数的判定方法

1. 答：如果你已具备导数知识,则可以这样判定: 求出函数的二阶导数, 若二阶导数为负,则为凸函数,反之则为凹函数.
2. 答：凸函数的定义
   假设f(x)在[a,b]上连续，若对于任意的x1,x2∈[a,b]，恒有
   f[(x1+x2)/2]≥[f(x1)+f(x2)]/2，则称f(x)在[a,b]上是凸函数
   凹函数的定义
   假设f(x)在[a,b]上连续，若对于任意的x1,x2∈[a,b]，恒有
   f[(x1+x2)/2]≤[f(x1)+f(x2)]/2，则称f(x)在[a,b]上是凹函数
   如果学习过导数，那么由下面的定理
   设f(x)在(a,b)内存在二阶导数f''(x),则
   （1）若在(a,b)内f''(x)<0，则f(x)在(a,b)上为凸函数
   （2）若在(a,b)内f''(x)>0，则f(x)在(a,b)上为凹函数

问：凸函数的性质定理为：如果函数f（x）在区间D上是凸函数，则对D内的任意x1，x2，…，xn都有f(x1)+f(x2)+…

1. 答：（1）∵f（x）=sinx在（0，π）上是凸函数，A、B、C∈（0，π）且A+B+C=π，
   ∴
   f(A)+f(B)+f(C)
   3
   ≤f(
   A+B+C
   3
   )＝f(
   π
   3
   )，
   即sinA+sinB+sinC≤3sin
   π
   3
   =
   3
   3
   2
   ．
   ∴sinA+sinB+sinC的最大值为
   3
   3
   2
   ．
   （2）∵f（-1）=
   1
   2
   ，f（1）=2，而
   f(?1)+f(1)
   2
   ＝
   1
   2
   +2
   2
   ＝
   5
   4
   ，而f(
   ?1+1
   2
   )＝f(0)＝1，
   ∴
   f(?1)+f(1)
   2
   ＞f(
   ?1+1
   2
   )．
   即不满足凸函数的性质定理，故f（x）=2x不是凸函数．